|
1.
Tablas,
gráficos y parámetros:
1.1. La siguiente tabla da las edades en que comenzaron a sentarse
los niños de una muestra en particular:
|
Meses
|
12
|
11
|
10
|
9
|
8
|
7
|
6
|
5
|
|
Frecuencia
|
1
|
6
|
7
|
14
|
28
|
35
|
21
|
10
|
Se pide:
a)
Obtener las frecuencias relativas.
b)
Construir el diagrama de barras.
c)
¿ Cual es la mediana?.
1.2. Dar respuesta clara y concisa a la pregunta: ¿ Que
transformaciones sufren la media aritmética y la varianza de una
distribución de frecuencias cuando se dividen sus valores por una constante
K?. Razona la respuesta.
1.3. Dar respuestas
claras y concisas a las pregunta siguiente:
Se
hizo un estudio sobre los hábitos de niños de seis a trece años en ver la
televisión. El estudio se hizo en base al numero
de horas de televisión vistas en una
semana. Los datos fueron los siguientes:
|
Seis
años
|
18
|
18
|
19
|
21
|
22
|
22
|
|
Trece
años
|
15
|
18
|
18
|
22
|
22
|
22
|
¿
Que datos están mas dispersos?.
1.4. Dar respuestas razonadas, claras y concisas a las pregunta
siguiente:
Supongamos
que la talla media de una muestra de 300 hombres es de 1,7 m, con una
desviación típica de 0.08 m, y que otra muestra de 300 mujeres da como
media 1.68 m, con desviación típica de 0.07 m. Calcular la media de la
muestra formada por el conjunto de las dos. ¿Cual de las dos poblaciones
puede considerarse mas dispersa ?.
1.5. Considérese la siguiente tabla de frecuencias
agrupadas :
|
Intervalo
|
3.5-6.5
|
6.5-9.5
|
9.5-12.5
|
12.5-15.5
|
15.5-18.5
|
|
Frecuencia
|
3
|
5
|
9
|
6
|
2
|
a). Dibujar el correspondiente histograma y calcular la media y la
desviación típica.
b). Calcular la probabilidad de que una variable normal de media y
desviación típica iguales a las obtenidas en el apartado anterior sea mayor
que 12.5.
2. Distribuciones bidimensionales.
Correlación y regresión :
2.1. Se ha medido el
contenido en oxigeno Y, en mg/litro, de un lago a una profundidad de X metros, obteniéndose los
siguientes datos :
|
X
|
15
|
20
|
30
|
40
|
50
|
60
|
70
|
|
Y
|
6.5
|
5.6
|
5.4
|
6
|
4.6
|
1.4
|
0.1
|
La
recta de regresión es Y - 4.22 =
(-38.56/360.5)[X-40.71].
Se
pide :
a). Coeficiente de correlación,
conclusión estadística.
b). Para una profundidad
comprendida entre 75 y 80 metros, ¿que contenido en oxigeno se podría
predecir ?.
2.2. Dos conjuntos
de datos bidimensionales tienen como coeficiente de correlación r1= -0.87 y r2= 0.37.
a). Razonar en cual de los dos
conjuntos es mejor el ajuste
(mediante una recta) de una variable en términos de la otra.
b). Representa dos conjuntos de
puntos cuyas correlaciones se correspondan aproximadamente con las dadas.
2.3. En la siguiente
tabla se dan marcas femeninas de cierta reunión de atletismo :
|
Distancia
(m)
|
100
|
200
|
400
|
800
|
1500
|
|
Tiempo
(seg.)
|
11
|
22
|
48
|
114
|
233
|
a). Calcula el coeficiente de
correlación entre las distancias (m) y los tiempos medidos en segundos.
b). Sin efectuar cálculos,
razonar si debemos esperar correlación positiva o negativa entre las
variables velocidad y distancia.
2.4. Dos conjuntos
de datos tienen como coeficiente de correlación r1= -0.83, y r2=
0.51.
a). Representar gráficamente dos
conjuntos de puntos cuyas correlaciones reflejen aproximadamente las dadas.
b). Razonar cual de los dos
conjuntos estará mas concentrado respecto a sus correspondientes rectas de
regresión.
2.5. En una empresa
se seleccionaron 5 trabajadores, se anotaron sus años de servicio y el
tiempo de permiso en horas, solicitado el ultimo
mes. Los resultados obtenidos fueron :
|
X
|
1
|
3
|
2
|
4
|
5
|
4
|
|
Y
|
1
|
1
|
3
|
4
|
6
|
5
|
a). Representar gráficamente los
datos anteriores. Razonar si los datos muestran correlación positiva o
negativa.
b). Calcular el coeficiente de
correlación e interpretarlo en términos de la situación real.
3. Calculo de probabilidades :
3.1. Dar respuesta
clara y concisa a las siguientes preguntas :
a).
Una variable aleatoria discreta tiene la siguiente distribución de
probabilidad :
|
k
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
P(x=k)
|
1/9
|
1/18
|
1/9
|
5/18
|
1/16
|
.... ?
|
Se
pide :
·
Completar la distribución de
probabilidad.
·
Calcular la media y la desviación típica.
b).
Se considera la función de variable real y= f(x)= (1/12)[x`5-80x]
Se pide :crecimiento
o decrecimiento, extremos relativos y dibujo de su gráfica.
3.2.Consideremos
dos sucesos A y B, con probabilidades respectivas P(A)=0.4 y P(B)= 0.7. Determinar los posibles valores
del máximo y del mínimo de P(A Ç B) y las condiciones
en que se consigue cada uno de estos valores.
3.3. Una urna contiene 10 bolas
blancas, 5 amarillas y 5 negras. Se extrae una bola al azar de la urna y se
sabe que no es blanca. ¿Cual es la probabilidad de que sea negra?
3.4. Un barco tiene tres sistemas de alarma independientes, cada
uno de los cuales tiene una probabilidad de 0.9 de funcionar en caso
necesario. Si se produce robo, calcular :
a). Probabilidad de que ninguna
alarma se active.
b). Probabilidad de que al menos
una alarma se activa.
3.5. De una urna con
tres bolas blancas y 7 negras se extraen tres bolas simultáneamente. Hallar
la probabilidad de que alguna de ellas sea blanca.
4. Distribución binomial :
4.1. Una determinada raza de perros tiene cuatro cachorros en cada
camada. Suponiendo que la probabilidad de que un cachorro sea macho es de
0.55, se pide :
a). Calcular la probabilidad de
que en una camada dos exactamente sean hembras.
b). Calcular la probabilidad de
que en una camada al menos dos sean hembras.
4.2. Un barco tiene tres sistemas de alarma independientes, cada
uno de los cuales tiene una probabilidad de 0.9 de funcionar en caso
necesario. Si se produce robo, calcular :
a). Probabilidad de que ninguna
alarma se active.
b). Probabilidad de que al menos
una alarma se activa.
4.3. La probabilidad de que un proyectil dé en el blanco es 0.8.
Si se lanzan 5 proyectiles, se pide : a). Probabilidad de que los 5 den en el
blanco.
b). Probabilidad de que alguno
dé en el blanco.
4.4. De una urna con 3 bolas blancas y 7 negras se extraen tres
bolas simultáneamente. Hallar la probabilidad de que al menos una sea
blanca.
4.5.Una fabrica de coches tiene tres
cadenas distintas de producción, que fabrican respectivamente, ½, ¼, ¼ del
total de los coches producidos. La probabilidad de que un coche sea
defectuoso es : para la primera cadena ½,
para la segunda ¼ y para la tercera 1/6.
a). ¿Cual
es la probabilidad de que un coche sea defectuoso ?.
b). Si un coche no es
defectuoso, ¿cual es la probabilidad de que sea de la primera cadena ?.
5. Distribución normal :
5.1. Considérese la
siguiente tabla de frecuencias agrupadas :
|
Intervalo
|
3.5-6.5
|
6.5-9.5
|
9.5-12.5
|
12.5-15.5
|
15.5-18.5
|
|
Frecuencia
|
3
|
5
|
9
|
6
|
2
|
a). Dibujar el correspondiente histograma y calcular la media y la
desviación típica.
b). Calcular la probabilidad de que una variable normal de media y
desviación típica iguales a las obtenidas en el apartado anterior sea mayor
que 12.5.
5.2. Se lanza una
moneda 90 veces, Calcular :
a). Probabilidad de obtener mas
de 50 caras.
b). Probabilidad de que el
numero de caras este comprendido entre 40 y 50.
5.3. Los pesos en Kg. de 20 alumnas de cierto centro son : 51, 47, 55, 53, 49, 47, 48, 50. 43, 60, 45,
54, 62, 57, 46, 49, 52, 42, 38, 61.
a). Agrupar los datos en clases
de amplitud 5, siendo el extremo inferior del primer intervalo 37.5.
Dibujar el correspondiente histograma y calcular la media de los datos
agrupados.
b). Comparar la proporción de
observaciones en el primer intervalo con la que cabria esperar bajo una
distribución normal de media 50 y desviación típica 6.4.
5.4. El histograma
de frecuencias agrupadas para ciertos datos es :
a). Calcular la media y la
desviación típica.
b). Calcular la probabilidad de
que una variable normal con la media y la desviación típica obtenidas en 1
sea mayor de 22.5.
5.5. Los pesos en Kg. de los bultos transportados por una empresa
en 1990 tienen las siguientes características :
media, 80.5 ; desviación típica, 10.5 ; mediana, 84.0 ;
primer cuartil, 75.5 ; tercer cuartil, 96.0.
a). ¿Cual
es la proporción de pesos menores de 96 Kg. ?¿Cual la de pesos mayores
de 84 Kg. ?¿Cual la proporción de pesos
incluidos en el intervalo (75.5, 96.0) ?.
b). Si la distribución de los
pesos se asemeja a una distribución normal, ¿Cual seria la proporción
aproximada de pesos pertenecientes al intervalo
(59.5, 101.5) = (80.5-2*10.5,80.5+2*10.5)
|
