REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

 

 

1.     

 

D ( f ) = Â - {1}. No tiene simetrías.

Puntos de corte: con el eje OX : .

con el eje OY es el mismo punto.

Asíntotas:

Vertical en x = 1  

 

No hay horizontal, ya que  .

 

Oblicua: ,

 

 así que la asíntota oblicua es .

 

Situación de la gráfica respecto de la asíntota oblicua:

 

 

Monotonía: , que son sus puntos críticos.

 

(-¥, 0)

(0, 1)

(1, 2)

(2, ¥)

f ¢(-1) > 0

f ¢(1/2) < 0

f ¢(3/2) < 0

f ¢(3) > 0

crece

decrece

decrece

crece

 

 

 

 

 

Extremos relativos:

 

Curvatura y puntos de inflexión:  f ¢¢¹ 0 " x Î Â Þ no existen puntos de inflexión.

           

(-¥, 1)

(1, ¥)

f  ¢¢(0) < 0

f  ¢¢(2) > 0

cóncava

convexa

 

La representación gráfica de la función es:

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.     

 

D ( f ) = Â. No tiene simetrías.

Puntos de corte: con el eje OX : .

con el eje OY es el mismo punto.

 

Asíntotas: no tiene verticales.

Horizontal:  , así que hay asíntota horizontal

 

en y = 0, pero sólo por la izquierda.

 

No tiene oblicuas porque .

 

 

 

Monotonía: , que son sus puntos críticos.

 

(-¥, -2)

(-2, 0)

(0, ¥)

f ¢(-3) > 0

f ¢(-1) < 0

f ¢(1) > 0

crece

decrece

crece

 

Extremos relativos:

 

 

Curvatura y puntos de inflexión: 

 

,

luego los puntos de inflexión son (aproximadamente) (-3.41, 0.38) y (-0.59, 0.19).

           

convexa

cóncava

convexa

 

La representación gráfica de la función es:

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.     

 

D ( f ) = Â. No tiene simetrías.

Puntos de corte: con el eje OX : los puntos de

          corte son (1, 0), (2, 0) y (-1,0).

 

con el eje OY : .

 

No tiene asíntotas porque es un polinomio.

 

Monotonía: ,

que son sus puntos críticos.

 

crece

decrece

crece

 

Extremos relativos:

 

 

Curvatura y puntos de inflexión: 

 

 es el punto de inflexión.

           

cóncava

convexa

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

La representación gráfica de la función es:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.     

 

D ( f ) = Â - {0}. No tiene simetrías.

Puntos de corte: con el eje OX : .

con el eje OY  no existe punto de corte.

Asíntotas:

Vertical en x = 0  

 

Horizontal en y = 0, ya que  .

 

Situación de la gráfica respecto de la asíntota horizontal:

 

 

No tiene asíntotas oblicuas.

 

Monotonía: , que es su único punto crítico.

 

(-¥, 0)

(0, 2)

(2, +¥)

f ¢(-1) > 0

f ¢(1) < 0

f ¢(3) > 0

crece

decrece

crece

 

 

Extremos relativos:

 

Curvatura y puntos de inflexión: es punto de inflexión.

           

(-¥, 0)

(0, 3)

(3, +¥)

f ¢¢ (-1) > 0

f ¢¢(1) > 0

f  ¢¢(4) < 0

convexa

convexa

cóncava

 

 

 

La representación gráfica de la función es:

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.     

 

     

 

Simetría: , así que la función es par.

 

Puntos de corte:

con el eje OX: .

con el eje OY no hay puntos de corte, ya que no existe f (0).

 

Asíntotas:

      Verticales en

 

No hay asíntota horizontal, ya que .

 

Tampoco hay oblicua, porque .

 

Monotonía: no hay extremos.

 

(-¥, -2)

(2, +¥)

f ¢(-3) < 0

f ¢(3) > 0

decrece

crece

 

Curvatura y puntos de inflexión: , lo cual es imposible, luego no hay puntos de inflexión.

 

 

Además, la función es siempre cóncava.

 

 

 

 

 

 

 

 

La representación gráfica de la función es:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.     

 

D ( f ) = Â, pues el denominador no se anula nunca.

 

Þ la función es par.

 

Puntos de corte: con el eje OX: .

         con el eje OY es el mismo punto.

           

Asíntotas: no tiene verticales.

Horizontal en y = 1, ya que .

 

Situación de la gráfica respecto de la asíntota oblicua:

 

Þ la función se acerca a la asíntota por debajo en todo 

su dominio.   

 

No tiene oblicuas.

 

 

 

 

Monotonía: , que es su único punto crítico.

 

(-¥, 0)

(0, +¥)

f ¢(-1) < 0

f ¢(1) > 0

decrece

crece

 

Extremos relativos:

 

Curvatura y puntos de inflexión:

                       

cóncava

convexa

cóncava

 

 

La representación gráfica de la función es:

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.     

 

D ( f ) = Â. No tiene simetrías.

Puntos de corte: con el eje OX :.

con el eje OY : .

 

Asíntotas: no tiene verticales.

 

Horizontal:  ,

 

así que hay asíntota horizontal en y = 0, pero sólo por la izquierda.

 

La asíntota y la función se cortan en el punto (1, 0).

 

Cuando x ® - ¥,  f (x) < 0, luego la gráfica se pega a la asíntota y = 0 por debajo.

 

No tiene oblicuas.

 

Monotonía: , que es su único punto crítico.

 

(-¥, 0)

(0, ¥)

f ¢(-1) < 0

f ¢(1) > 0

Decrece

crece

 

 

Extremos relativos:

 

 

Curvatura y puntos de inflexión: 

 

 es su punto de inflexión.

           

 

cóncava

convexa

 

 

 

 

 

 

 

La representación gráfica de la función es:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.     

 

Como

 

D( f ) = Â porque es polinómica. Por la misma razón no tiene asíntotas de ningún tipo.

 

Es simétrica par, pues .

 

 

Estudiamos la continuidad y derivabilidad de f (x) en x = 0, por ser una función a trozos que se “juntan” en x = 0.

 

   luego  f (x) es continua en todo Â.

 

Para la derivabilidad:

 

 

Así que no existe f ¢(0), por lo que f (x) es derivable en  -{0}, y la función derivada es

 

(-¥, -1)

(-1, 0)

(0, 1)

(1, +¥)

decrece

crece

decrece

crece

 

  Þ como f ¢¢ > 0 donde existe, los puntos (-1, 1) y (1, 1)

 

son mínimos relativos. Además, la función es convexa en Â-{0}.

 

Puntos de corte con los ejes: con OX no hay puntos de corte porque las ecuaciones

      no tiene soluciones.

      con OY se tiene que f (0) = 2, luego el punto es (0, 2).

 

La representación gráfica de la función es:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.     

 

D( f ) = (0, +¥), no tiene simetrías y es continua y derivable en todo su dominio.

 

Puntos de corte: con OX:                                                                    

   con OY no hay porque 0 Ï D( f ).

 

Asíntotas:

Vertical:

 

Horizontal:

 

Oblicua:

 

Monotonía:

 

(0, 0.6)

(0.6, +¥)

f ¢ (0.1) < 0

f ¢(e) > 0

decrece

crece

 

Extremos relativos:

 

    

Curvatura y puntos de inflexión:

es su único punto de inflexión.

 

(0, 0.02)

(0.02, +¥)

f ¢¢ (0.01) < 0

f ¢¢(e) > 0

cóncava

convexa

 

 

La representación gráfica de la función es:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. 

 

D( f ) = Â, pues el denominador no se anula nunca. No tiene simetrías. Es además continua y derivable en todo su dominio.

 

Puntos de corte: con el eje OX :.

con el eje OY : .

 

Asíntotas: no tiene verticales.

 

Horizontal:  , así que hay asíntota

 

horizontal en y = 0, pero sólo por la derecha (la función va por encima de la asíntota).

 

No tiene oblicuas.

Monotonía: , que son sus puntos críticos.

 

 

 

f ¢(0) < 0

f ¢(2) > 0

f ¢(4) < 0

decrece

crece

decrece

 

Extremos relativos:

 

 

Curvatura y puntos de inflexión: 

 

son sus puntos de inflexión.

           

(1.1, 4.3)

convexa

cóncava

convexa

 

La representación gráfica de la función es:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11. 

 

D ( f ) = Â -{0}. No tiene simetrías. Es continua y derivable en todo su dominio.

 

Puntos de corte: con el eje OX :, así que no hay.

con el eje OY : tampoco hay, ya que no existe f (0).

 

Asíntotas:

Vertical: , así que la hay

 

en x = 0 sólo por la derecha.

 

Horizontal:  , así que hay asíntota horizontal en y = 1.

 

Situación de la gráfica respecto de la asíntota:

 

 

No tiene oblicuas.

Monotonía: , pero esto no ocurre nunca, así que no hay extremos relativos. Además,  f ¢< 0 donde existe Þ la función es decreciente en todo su dominio.

 

Curvatura y puntos de inflexión: 

 

es su punto

 de inflexión.

 

(0, +¥)

cóncava

convexa

convexa

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

La representación gráfica de la función es:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12. 

 

, donde la función es continua y derivable.

 

Cuando x tiende a cero: .

No tiene simetrías.

Puntos de corte: con OX no hay puntos de corte porque .

                           con OY tampoco porque no existe f (0).

 

Asíntotas:

Vertical: , hay una en x = 1.

 

Horizontal: , horizontal en y = 0 sólo por la derecha (la función se

acerca por encima de la asíntota).

 

No tiene oblicuas.

 

Monotonía y extremos relativos:

 

, así que no hay extremos, y la función es decreciente en todo

su dominio.

Curvatura y puntos de inflexión:

 

 es su punto de

inflexión.

 

convexa

cóncava

convexa

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

La representación gráfica de la función es:

 

 

 

Nota: observa que las dos últimas funciones, , son una inversa de la otra, es decir, si .

 

 Este hecho se aprecia en que sus gráficas son simétricas respecto de la recta y = x, bisectriz del primer cuadrante.

 

 

 

 

J.G.S.V
Departamento de Matemáticas