LÍMITES DE FUNCIONES

 

 

Introducción.

 

La expresión  significa que cuando la variable x toma valores cercanos al número a (pero no iguales a a), entonces los valores de la función f (x) se aproximan a b. Diremos que “el límite de f (x) cuando x tiende a a” existe y vale b si existen los límites laterales y ambos valen b, es decir:

 

                                  

 

Recordar que  o límite lateral izquierdo es el valor al que se acerca f (x) si x se acerca a a con valores menores que a, y análogamente se define , límite lateral derecho.

 

Para calcular un límite lo primero que hay que hacer es sustituir el valor a en las x de la función y hacer los cálculos. Por ejemplo:

 

                       

 

Pero en muchas ocasiones ocurre que el valor así obtenido no tiene sentido. Decimos entonces que hay una indeterminación. Las indeterminaciones que pueden aparecer son:

 

                       

 

Los casos no se consideran indeterminaciones.

 

Cuando nos encontramos con una indeterminación, no significa que el límite no exista, sólo que hemos de dar un “rodeo” para calcularlo, es decir, evitarla. Al tratar de evitar una indeterminación hay que tener en cuenta, además de su valor, el tipo de función en la que aparece.

A continuación vamos a estudiar los casos posibles y las técnicas (ilustrados con ejemplos) que utilizaremos para evitar la indeterminación y encontrar así el auténtico valor del límite.

Notar que, a menudo, al tratar una indeterminación aparece otra, pero ésta siempre es de un tipo que ya sabemos tratar (el orden en el que a continuación se presentan los distintos tipos no es aleatorio).

 

 

 

Cálculo de límites.

 

1.      . Hemos de hacer los límites laterales.

 

 

 

2.       en funciones racionales (cocientes de polinomios).

 

Cuando x ® ¥ en un polinomio, sólo hay que tener en cuenta el término de mayor grado del polinomio.

En  con P y Q polinomios, tenemos que dividir ambos por la mayor potencia de x que existe en este cociente.

 

 

De esta técnica se deduce una regla que se puede aplicar en general a límites de este tipo, sin más que comparar los grados de los polinomios P y Q:

 

     

 

 

 

 

 

3.       en funciones irracionales (la variable x aparece dentro de una raíz cuadrada).

 

Es un caso muy parecido al anterior. Para calcular el grado de un polinomio que está dentro de una raíz, se divide el grado del polinomio entre el índice de la raíz. Después basta con aplicar la regla anterior.

 

 

 

4.      ¥ - ¥  en sumas o restas de funciones racionales.

 

En este caso basta con efectuar la  suma o resta y llegar así a un solo cociente. Entonces se obtiene la indeterminación , y aplicamos el caso 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.      ¥ - ¥ y  en funciones irracionales.

 

En estos casos se multiplica y divide por el conjugado de la expresión radical.

 

 

 

6.       en cocientes de polinomios.

 

Se factorizan ambos polinomios y se simplifica. Sabemos de entrada que algo sí se puede simplificar, pues los dos polinomios se anulan para el valor al que tiende x, es decir, que ese valor de x es raíz de los dos polinomios. (Usar la regla de Ruffini).

 

 

 

7.      . Aparece en límites del tipo , es decir, de tipo exponencial. Se relaciona con el número e, ya que tiene un aspecto análogo al límite de la sucesión que tiene al número e como límite (de hecho el número e se define a partir de dicha sucesión): .

 

 

 

El tipo de transformación a realizar ya se vio en el curso anterior. Utilizaremos la fórmula que se deduce de esa transformación:

 

           

 

 

 

Las otras indeterminaciones: , se resuelven utilizando la regla de L´Hôpital, que veremos más adelante.

 

8.      Límites de funciones trigonométricas. Funciones equivalentes.

Cerca de x = 0, el sen x “se parece” mucho a cero, así que , lo cual significa que la función sen x es “equivalente” a la función x cuando x ® 0. Esto se expresa con sen x » x.

Otras funciones equivalentes son:

a)      si x ® 0

b)      si x ® 1

 

Por lo tanto, si en un límite x tiende al valor adecuado, podemos sustituir una función por su equivalente cerca de ese punto.

¡ATENCIÓN! Estas sustituciones sólo pueden hacerse cuando la función está multiplicando o dividiendo.

 

Ejemplos: