cinemática

Ejemplo:

Sean: a = 3 i + 2 j y b = 2 i – 3 j

a + b = (3+2) i + (2 –3) j = 5 i – j

Ejemplo:

En el vector anterior : c = a + b = 5 i – j

|a| = (a_x² + a_y² + a_z²)^1/2 = [5² + (–1)² + 0²]^1/2 = (26)^1/2 = 5,1

Ejemplo:

En el vector: r(t) = [2t·i + (1–t) ·j + (3t²+4)·k] m, las ecuaciones paramétricas serían:

x = 2t ; y = 1 – t ; z = 3t² + 4

Ejemplo:

r(t) = [2t·i + (1–t) ·j + (3t²+4)·k] m

x = 2t ; y = 1 – t ; z = 3t² + 4

t = x/2 Þ y = 1 – x/2 ; z = 3x ²/4 + 4

En el caso del espacio bidimensional, únicamente existe una ecuación de la trayectoria: y = f(x).

Ejercicio:

Determinar las ecuaciones paramétricas y de la trayectoria del siguiente movimiento expresado por la ecuación: r(t) = [(t – 2) i + (2t² + 4t –3 ) j] m

Ecuaciones paramétricas: x = t – 2 ; y = 2t² + 4t –3

Despejando “t”de la 1ª ecuación: t = x + 2, y sustituyendo en la segunda:

y = 2 (x + 2)² + 4·(x + 2) –3 = 2 (x ² + 4x + 4) + 4·(x + 2) –3

y = 2 x ² + 8x + 8 + 4x + 8 –3

Ecuación de la trayectoria: y = 2 x ² + 12x + 13

Ejercicio:

Determina el valor del vector posición del vector : r(t) = [3t i + (2t² – 6) j] m en los instantes de tiempo t = 0, 2, 4, 6 s y calcula el módulo de dichos vectores y la ecuación de la trayectoria.

t (s)	r(t) (m)	½r(t)½ (m)
0	– 6 j	(–6)^1/2 = 6,00
2	6 i + 2 j	(6^2 + 2^2)^1/2 = 6,32
4	12 i + 26 j	(12^2 + 26^2)^1/2= 28,63
6	18 i + 66 j	(18^2 + 66^2)^1/2= 68,41

Despejando “t” de x = 3 t Þ t = x/3, y sustituyendo en y = 2 t² – 6 queda:

y = 2(x/3)² – 6; y = 2x²/9 – 6

Ejercicio:

Representa gráficamente la ecuación anterior: (0,–6); (6,2); (12,26); (18,66).

Ejercicio:

Cuál será el vector desplazamiento y cuánto valdrá su módulo en la ecuación anterior: r(t) = 3t i + (2t² – 6) j en unidades del S.I entre los instantes t = 2 s y t = 4 s.

r₁ (t =2 s) = (6 i + 2 j) m ; r₂ (t= 4 s) = (12 i + 26 j) m

Dr = r₂ – r₁ = Dx i + Dy j + Dz k = [(12 – 6) i + (26 – 2) j] m

Dr = (6 i + 24 j) m

½Dr½= (6² + 24²)^1/2 m = (36 + 576)^1/2 m = 24,74 m

Ejercicio:

Calcular la velocidad media entre los instantes t = 2s y t= 5, así como su módulo en el movimiento: r(t) = [(2t² – 4) i + (1 – 4t) j] m

r₁ (t =2 s) = (4 i – 7 j) m

r₂ (t =5 s) = (46 i – 19 j) m

Dr (2s®5s) = r₂ – r₁ = (42 i – 12 j) m

Dr (42 i – 12 j) m
v_m (2s®5s) = — = —————— = (14 i – 4 j) m/s
Dt 5 s – 2 s

½v_m (2s®5s)½= [(14 m/s)² + (– 4 m/s)²]^1/2 = 14,56 m/s

Ejemplo:

Calcular la velocidad instantánea aproximada en el instante t = 2s, así como su módulo en el movimiento: r(t) = [3t i + (2t² – 6) j] m

Sea D t = 0,1 s, suficientemente pequeño: deberemos conocer la posición en r₁ (t =2 s) y en r₂ (t =2,1 s)

r₁ (t =2 s) = (6 i + 2 j) m ; r₂ (t =2,1 s) = (6,3 i + 2,82 j) m

Dr = r₂ – r₁ = (0,3 i + 0,82 j) m

Dr (0,3 i + 0,82 j) m
v_aprox (t=2 s) = — = ——————— = (3 i + 8,2 j) m/s
Dt 0,1 s

½v_aprox (t=2 s)½= (3² + 8,2²)^1/2 m/s = 8,73 m/s

Ejemplo:

Calcular la velocidad instantánea más aproximada en el instante t = 2s, así como su módulo en el movimiento: r(t) = [3t i + (2t² – 6) j] m

Si queremos calcular v (t = 2 s) de forma más aproximada deberemos tomar un Dt aún menor, por ejemplo 0,01 s, y conocer la posición en r₁ (t =2 s) y en r₃ (t = 2,01 s).

r₁ (t =2 s) = (6 i + 2 j) m

r₃ (t =2,01 s) = (6,03 i + 2,0802 j) m

Dr = r₃ – r₁ = (0,03 i + 0,0802 j) m

Dr (0,03 i + 0,0802 j) m
v_aprox (t=2 s) = — = ————————— = (3 i + 8,02 j) m/s
Dt 0,01 s

½v_aprox (t=2 s)½= (3² + 8,02²)^1/2 m/s = 8,56 m/s

Ejemplo:

Calcular la expresión del vector velocidad del movimiento anterior:
r(t) = [3t · i + (2t² – 6) · j] m y la velocidad en los instantes 0, 2, 4 y 6 s así como su módulo.

Dr Dx i + D y j + Dz k
v = lim — = lim ————————
Dt®0 Dt Dt®0 Dt

3(t+Dt) – 3t [2(t+Dt)²–6 – [2t²–6]
v = ————— i + ————————— j =
Dt Dt

3t + 3 Dt – 3t [2t² + 4t Dt + 2(Dt)²–6]–[2t²–6]
= —————— i + —————————————— j =
Dt Dt

Ecuación de la velocidad: v = dr/dt = 3 i + 4t j

t (s)	v(t) (m/s)	½v(t)½ (m/s)
0	3 i	(3^2)^1/2 = 3
2	3 i +8 j	(3^2 + 8^2)^1/2 = 8,43
4	3 i +16 j	3^2 + 16^2)^1/2 = 16,28
6	3 i + 24 j	(3^2 + 24^2)^1/2 = 24,19

Ejemplo:

Obtener dx/dt sabiendo que: x = 5 t³ + 4 t² – 3 t + 2

dx/dt = 15 t² + 8t – 3

Ejemplo:

Calcular la expresión del vector aceleración del movimiento anterior r(t) = 3t·i + (2t²–6)·j, cuyo vector velocidad era v = 3 i + 4t j en los instantes 0, 2, 4 y 6 s así como su módulo.

Ecuación del movimiento (de la posición): r(t) = 3t·i + (2t²–6)·j

Ecuación de la velocidad: v = 3 i + 4t j

Ecuación de la aceleración: a = dv/dt = 4 j

Para todos los valores de tiempo a = 4 j m/s², ya que se observa que a no depende de “t”.

½a½ (m/s²) = Ö4² m/s² = 4 m/s²

Ejemplo:

Un coche de carreras toma la salida en una pista circular de 1 km de radio. El módulo de la velocidad aumenta según la ecuación: v(t) = 7 t, en unidades del SI. Calcula: a) la aceleración tangencial; b) la aceleración normal y el módulo del vector a a los 6 s.

a) dv 7(t+Dt) – 7t 7t + 7 Dt – 7t 7 Dt
a_t = —— = ————— = —————— = —— = 7 m/s²
dt Dt Dt Dt

a_t = 7 u_t m/s²

b) v² 49 t² m²·s^-2
a_n = —— = ————— = 0,049 t² m/s²
R 1000 m

a_n (t = 6 s) = 0,049 ·6² m/s² = 1,76 m/s² ; a_n = 1,76 u_n m/s²

a (t = 6 s) = (a_t² + a_n²)^1/2 = (7² + 1,764²)^1/2 m/s² = 7,2 m/s²

Ejemplo:

Sea v = 3 i m/s Þ a = 0. ¿Cuál será la ecuación vectorial de “r” en función de “t”.

r = ∫ (3 i) m/s · dt = (3 t + r₀) i m

Ejercicio:

Sea un movimiento cuya ecuación de velocidad es: v = (3 i + 4 j –6 k) m/s. Determinar la ecuación vectorial de la posición suponiendo que para t = 0 su posición es r₀ = (2 i + k) m, ¿cuál será su posición en el instante t = 2 s?

r = ∫ dr = ∫ v · dt = v · t + r₀ = [(3 i + 4 j –6 k) · t + (2 i + k)] m

r = [(3 t + 2) i + 4 t j + (–6 t + 1) k] m

r (t = 2 s) = [(3 · 2 + 2) i + 4 ·2 j + (–6 ·2 + 1) k] m = (8 i + 8 j– 11 k) m

r (t = 2 s) = (8 i + 8 j – 11 k) m

Ejercicio:

Escribir las ecuaciones escalares del movimiento anterior cuya ecuación de velocidad era: v = (3 i + 4 j –6 k) m/s, y su posición inicial venía determinada por r₀ = (2 i + k) m.

Ecuaciones escalares

de velocidad: v_x = 3 m/s ; v_y = 4 m/s ; V_z = –6 m/s ;

de posición: x = (2 + 3 t) m ; y = 4 t m ; z = (1 – 6 t) m.

Representación gráfica x/t.

Al representar “x” frente a “t” se obtiene una recta cuya pendiente es “v” (v = tg a) y la ordenada en el origen es x₀.

Representación gráfica v/t

Al representar “v” frente a “t” se obtiene una recta horizontal ya “v” es constante y no varía con “t”.

Movimiento Rectilíneo UNIFORMEMENTE Acelerado (M.R.U.A.)

Se cumple que: a = k · u_t , es decir: a_t = k = a ; a_n = 0

Como la dirección no varía u_t puede coincidir con cualquier vector unitario i, j o k.

Ecuaciones del movimiento MRUA.

a = dv/dt = a_x · i significa que la v varía con el tiempo siempre al mismo ritmo.

dv = a dt.

Integrando: v = ∫ dv = ∫ a · dt = a · t + v₀ (v₀ = constante)

Para obtener la posición se vuelve a integrar:

r = ∫ dr = ∫ v · dt = ∫ (a · t + v₀) · dt =

r = ½ a · t² + v₀ · t + r₀ (r₀ = constante)

Si el movimiento transcurre a lo largo del eje “x” la ecuación vectorial se expresará como:

r = x i = (½ a_x · t² + v_0x· t + x₀) i

Si el movimiento transcurre a lo largo del eje “x” la ecuación vectorial se expresará como:

r = y j = (½ a_y · t² + v_0y· t + y₀) j

Ejemplo:

Sea el movimiento definido por las siguientes constantes a = (5 i) m/s² y v₀ = 3 i m/s r₀ = 4 i m. Determina las ecuaciones vectoriales de la velocidad y de la posición.

v = ∫ a · dt = ∫ (5 i) m/s² dt; v = (5 m/s² · t + 3 m/s) i

r = ∫ v · dt = ∫ (5 m/s² · t + 3 m/s) i · dt

r = (5/2 m/s² · t² + 3 m/s · t + 4 m) i

Ejercicio:

Sea un movimiento cuya ecuación de velocidad es: v = (4· t +2 ) j m/s. Determinar la ecuación vectorial de la aceleración y de la posición. Suponiendo que para t = 0 su posición es r₀ = 3 j m, ¿cuál será su posición en el instante t = 2 s?

a = dv/dt = 4 j m/s²

r = ∫ dr = ∫ v · dt = €(4· t + 2 ) j dt = (½ ·4 t² + 2 t + 3) j m

r = (2 t² + 2 t + 3) j m

r (t = 2 s) = [2 (2)² + 2 ·2 + 3] j m = (8 + 4 + 3) j m = 15 j m

Ejercicio:

Sea el movimiento anterior cuya ecuaciones del movimiento eran: a = 4 j m/s²;
v = (4· t +2) j m/s; r = (2 t² + 2 t + 3) j m . Determinar sus ecuaciones escalares.

v_y = a_y · t + v_0y ; y = y₀ + v_0y · t + ½ a_y · t²

Comparando con la ecuación general observamos que las constantes del movimiento son:

a_y = 4 m/s² ; v_0y = 2 m/s; y₀ = 3 m

Y las ecuaciones escalares:

a_y = 4 m/s²

v_y = (4 t + 2) m/s

y = (3 + 2 · t + 2 t²) m

Ejercicio:

Representar las gráficas a/t, v/t, y/t del movimiento anterior cuyas ecuaciones eran: a = 4 j m/s²; v = (4 t +2) j m/s; r = (½ ·4 t² + 2 t + 3) j m.

Ejemplo:

Se desea cruzar un río de 50 m de ancho con una barca llevando un velocidad de 5 m/s. ¿Que dirección deberá tomar para cruzar justo enfrente si la velocidad del agua es de 3 m/s y qué tiempo tardará en conseguirlo?

Ecuaciones escalares de velocidad:

V_x = 5 m/s · cos a – 3 m/s ; V_y = 5 m/s · sen a

Ecuaciones escalares de posición:

x = (5 m/s · cos a – 3 m/s) · t ; y = 5 m/s · sen a · t

Para cruzar justo enfrente x = 0

0 = 5 m/s · cos a – 3 m/s Þ cos a = 3/5

Þ a =arc cos (3/5); a = 53’13º

y = 5 m/s · sen a · t = 5 m/s · 0,8 t

Para y = 50 m; 50 m = 4 m/s · t Þ t = 12,5 s

Ejemplo:

Una persona lanza piedras horizontalmente desde lo alto de un acantilado de 25 m de altura. Si pretende que caigan a 30 m de la base del acantilado, calcula: a) la velocidad con que debe lanzar las piedras; b) el tiempo que tardan en caer éstas.

a) De la ecuación del alcance [x = v₀ · (2 h/g)^½] despejamos “v₀”:

x 30 m
v₀ = ———— = ————————— = 13,28 m/s
(2 h/g)^1/2 (2 ·25 m/9,8 m/s²)^1/2

b) De la ecuación [ x = v₀ t] despejamos “t”:

x 30 m
t = — = ————— = 2,26 s
v₀ 13,28 m/s

Ejemplo:

Un futbolista chuta hacia puerta con una velocidad de 15 m/s. Calcula: a) el alcance para un ángulo de tiro de 30º, 45º y 60 º; b) el tiempo que el balón permanece en el aire en cada tiro; c) la altura máxima en cada caso.

a) v₀² · sen 2a (15 m/s)² · sen 60º
x(a= 30º) = —————— = ————————— = 19,9 m
g 9,8 m/s²

v₀² · sen 2a (15 m/s)² · sen 90º
x(a= 45º) = —————— = ————————— = 23,0 m
g 9,8 m/s²

v₀² · sen 2a (15 m/s)² · sen 120º
x(a= 60º) = —————— = ————————— = 19,9 m
g 9,8 m/s²

b) 2 v₀ · sen a 2 · 15 m/s · sen 30º
t (a= 30º) = ————— = ————————— = 1,5 s
g 9,8 m/s²

Análogamente t (a= 45º) = 2,2 s; t (a= 60º) = 2,7 s

c) v₀² · sen² a (15 m/s)² · sen ² 30º
y (a= 30º) = —————— = ————————— = 2,87 m
2 g 2 · 9,8 m/s²

v₀² · sen² a (15 m/s)² · sen ² 45º
y (a= 45º) = —————— = ————————— = 5,74 m
2 g 2 · 9,8 m/s²

v₀² · sen² a (15 m/s)² · sen ² 60º
y (a= 60º) = —————— = ————————— = 8,61 m
2 g 2 · 9,8 m/s²

Ejemplo:

Las aspas de un molino giran con velocidad angular constante. Si dan 90 vueltas por minuto, calcula: a) la velocidad angular en radianes por segundo; b) la velocidad lineal de un punto de las aspas que se encuentra a 0,75 m del centro; c) el ángulo girado en 10 s.

a) 90 vueltas min 2 p rad
w = ————— · ——— · ———— = 3 p rad/s
min 60 sg vuelta

b) 3 p rad
v = w · R = ———— · 0,75 m = 7,1 m/s
s

c) 3 p rad
Dj = w · t = ———— · 10 s = 30 p rad = 15 vueltas
s

Relación entre ecuaciones lineales y angulares.

MRU	MCU
v = k (constante)	w = k (constante)
Ecuación e = f(t):	Ecuación j = f(t):
e = e0 + v · t	j = j0 + w · t
MRUA	MCUA
a = k (constante)	a = k (constante)
Ecuación v = f(t):	Ecuación w = f(t):
v = v0 + a · t	w = w0 + a · t
Ecuación e = f(t):	Ecuación j = f(t):
e = e0 + v0 t + ½ a ·t^2	j = j0 + w0 t + ½ a ·t^2

Ejemplo:

Un disco de 15 cm de radio, inicialmente en reposo, acelera uniformemente hasta alcanzar una veloci-dad angular de 5 rad/s en 1 min. Calcula: a) la aceleración angular del disco; b) la velocidad lineal de un punto de la periferia a los 25 s de iniciarse el movimiento; c) las componentes intrínsecas de la aceleración en un punto del borde del disco; d) el nº de vueltas que da en 1 minuto.

a) Dw 5 rad/s – 0
a = —— = —————— = 0,083 rad/s²
Dt 60 s

b) w (t = 25 s) = w₀ + a · t = 0,083 rad/s² · 25 s = 2,1 rad/s

v (t = 25 s) = w · R = 2,1 rad/s · 0,15 m = 0,31 m/s

c) a_t = a · R = 0,083 rad/s² · 0,15 m = 0,012 m/s²

a_n= v² /R = w² · R = a² · t² · R = (0,083 rad/s² )²· 0,15 m ^· t²

a_n = 1,03 · 10^–3 · t² m/s² (a_n depende de “t”)

d) Dj (t = 1 min) = w₀·t + ½ a · t² =

½ · 0,083 rad/s² · (60 s)² = 150 rad = 23,9 vueltas

Ejercicio:

Un tiovivo se pone en marcha y tarda 5 s, durante los cuales acelera uniformemente, en adquirir los caballitos situados a 5 m del centro la velocidad de 5 m/s con la cual permanece durante todo el tiempo que dura la atracción. Calcula las componentes intrínsecas de la aceleración a los 2 y a los 8 segundos de iniciado el movimiento, así como los valores de sus módulos.

v 5 m/s
w (t = 5 s) = — = ——— = 1 rad/s
R 5 m

w – w₀ 1 rad/s – 0
a = ——— = ————— = 0,2 rad/s²
t 5 s

w (t = 2 s) = w₀ + a·t = 0,2 rad/s^2· · 2 s = 0,4 rad/s

v (t = 2 s) = w · R = 0,4 rad/s · 5 m = 2 m/s

v² (2 m/s)²
a_n (t = 2 s) = — = ———— = 0,8 m/s²
R 5 m

a_t (t = 2 s) = a ·R = 0,2 rad/s² · 5 m = 1 m/s²

a (t = 2 s) = [(0,8 m/s²)² + (1 m/s²)²]^½ = 1,28 m/s²

v² (5 m/s)²
a_n (t = 8 s) = — = ———— = 5 m/s²
R 5 m

a_t (t = 8 s) = a ·R = 0 rad/s² · 5 m = 0 m/s²

a (t = 8 s) = [(5 m/s²)² + (0 m/s²)²]½ = 5 m/s²