Trabajo y energía

Ejemplo:

Se tira de una vagoneta de 20 kg con una cuerda horizontal que forma un ángulo de 30º con la dirección de la vía, ejerciendo una fuerza F de 50 N a lo largo de una distancia de 50 m. La fuerza de rozamiento entre la vía y las ruedas es una décima parte del peso. Calcular el trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúan sobre la vagoneta.

W = F · Dx ·cos 30º = 50 N · 50 m · 0,866 = 2165 J

WR = FR ·Dx ·cos 180º = 19,6 N ·50 m ·(–1) = –980 J

WP = P · Dx ·cos 270º = 196 N · 50 m · (0) = 0

WN = N · Dx ·cos 90º = 196 N · 50 m · (0) = 0

Wtotal = 2165 J – 980 J = 1185 J

    
Ejemplo:

Calcula la potencia que debe poseer un motor para llenar de agua una piscina de 100 m3 de capacidad en 5 horas, sacando agua de un pozo a 6 metros por debajo de la entrada a la piscina, si el rendimiento es del 80 %.

m = V · d = 100 m3 ·1000 kg/m3 = 105 kg

Wútil = F · De = m·g·h = 105 kg ·9,8 m/s2 . 6 m = = 5,88 ·106 J

        Wútil          5,88 ·106 J
 Pef = —— = ———————— =  326,7 W
              t       5 h · 3600 s/h

       Pef         326,7 W   
 P = —— ·100 = ———— ·100 = 409 W
         h                   80

Ejemplo:

 Un jugador de jockey lanza el tejo de 200 g con una velocidad de 10 m/s. Si después de recorrer 25 m la velocidad disminuye un 10 %, calcular: a) el trabajo de rozamiento; b) el coeficiente de rozamiento; c) el tiempo que tarda en detenerse; d) el espacio que recorre hasta pararse.

a) WR = DEC = ½ m v2 – ½ m v02 =  ½ · 0,2 kg · (9 m/s)2 – ½ · 0,2 kg · (10 m/s)2 =

    8,1 J – 10 J = –1,9 J

b) WR = – FR · Dx = – md · N · Dx

                   –1,9 J
    md = ———————= 0,039
            –1,96 N · 25 m

c) FR = –md ·m · g = m · a Þ a = – md · g = – 0,039 ·9,8 m/s2 = – 0,38 m/s2

             Dv        0 – 10 m/s
     Dt = —— = —————— = 26,3 s
              a       – 0,38 m/s2

d) De = v0 · t  + ½ a · t2  = 10 m/s · 26,3 s – ½ 0,38 m/s2 · (26,3 s)2 = 131,6 m

Ejemplo:

Tenemos un cuerpo en lo alto de un plano inclinado. Comprueba que el trabajo que realiza el peso es el mismo cuando el cuerpo cae verticalmente que cuando cae deslizándose sin rozamiento a lo largo del plano inclinado.

WPa = |P|·|Dy| · cos 0º = m·g ·h

WPb = |P|· |l| ·cos (90º – a)

Como:                                   h             
                  cos (90º – a) = —
                                              l

WPb = m ·g ·h,  con lo que: WPa = WPb

Ejemplo:

 Colocamos un muelle cuya constante vale 49 N/m horizontalmente y lo comprimimos 5 cm.  Si apoyamos una esfera de 25 g y soltamos, calcular la velocidad con que será lanzada suponiendo que toda su energía potencial elástica se transforma en energía cinética.

Epe = ½ k ·x2 = ½ (49 N/m)·(0,05 m)2 = 0,061 J

Como la  Epe se transforma en EC:                      EC = ½ m·v2 = 0,061 J

Despejando “v”:

                                                              2,2 m/s

Ejemplo:

Lanzamos verticalmente una pelota con una velocidad de 10 m/s. Demostrar cuál será la altura máxima usando el principio de conservación de la energía mecánica.

Ec = ½ m v2  = ½ m·(10 m/s)2 = 50 m m2/s2

Como la energía cinética se transformará en potencial

Ep = m g h = 50 m m2/s2

Eliminando la masa “m” en ambos miembros y despejando “h”

       50 m2/s2
h = ———— = 5,1 m
      9,8 m/s2

Ejercicio:

Lanzamos una pelota con una velocidad de 10 m/s con un ángulo de 30º con respecto a la horizontal. Demostrar cuál será la altura máxima usando el principio de conservación de la energía mecánica.

Ec0 = ½ m v02  = ½ m·(10 m/s)2 = 50 m m2/s2

En el punto más alto sólo existirá “vx = v0·cos 30 º”

Ec1 = ½ m v12  = ½ m·(0,866·10 m/s)2

Ec1 = 37,5 m m2/s2.                    Igualmente:                  Ep1 = m ·g ·h

Igualando  EM0 = EM1:     50 m m2/s2 = 37,5 m m2/s2 + m ·g ·h

Eliminando la masa “m” en ambos miembros y despejando “h”:

              h = 1,28 m

Ejemplo:

 Se lanza un chicle de 20 g contra un bloque de madera de 1 kg que cuelga del techo por una cuerda. Después del impacto el chicle queda adherido al bloque y éste se pone a oscilar elevándose 1 cm por encima de su posición de equilibrio. Calcula la velocidad del chicle en el momento del impacto. ¿Qué % de energía mecánica se pierde tras el impacto?

20 g · vch · i + 0 = 1020 g · vm-ch · i

Por otro lado, aplicando el principio de conservación de la energía (después del choque):

½ 1020 g · vm-ch2 = 1020 g · 9,8 m/s2 · 0,01 m

De donde se obtiene que: vm-ch = (2 ·9,8 m/s2 · 0,01 m)½ = 0,44 m/s

Sustituyendo en a): vch = 22,6 m/s

EM0 = Ec0 = ½ 20 g ·(22,6 m/s)2 + 0 =  5,11 J

EM1 = Ec1 = ½ 1020 g ·(0,44 m/s)2  =  0,099 J

                              5,11 J – 0,099 J
% EM perdido = ———————— · 100 = 98,1 %
                                       5,11 J